EQUILIBRIO DE UN CUERPO RÍGIDO BAJO
LA ACCIÓN DE FUERZAS COPLANARES.
LA
TORCA (O MOMENTUM) alrededor de un eje, debida a una fuerza, es una medida de
la efectividad de la fuerza para que esta produzca una rotación alrededor de un
eje. La torca se define de la siguiente manera:
TORCA=
r 
senα
senα
Γ
= r
Donde
r es la distancia radial desde el punto de aplicación de la fuerza y α es el
ángulo agudo entre las direcciones de r
y F, como se indica en las figura.
Con
frecuencia esta definición se escribe en términos de brazo de palanca de la
fuerza, que es la distancia perpendicular desde el eje a la línea de acción de
la fuerza. Como el brazo de palanca es
igual a r senα, la ecuación de la
torca se escribe como:
Γ
= F x brazo de palanca
Las
unidades de la torca son Newton metro. La torca puede ser positiva o negativa: es
positiva cuando la rotación alrededor del eje es en sentido opuesto al
movimiento de las manecillas del reloj y
negativa cuando la rotación es en el mismo sentido en que se mueven las manecillas del reloj.
Las dos condiciones para el equilibrio
de un cuerpo rígido bajo la acción de fuerzas coplanares son:
1.- LA PRIMERA CONDICION DE LA FUERZA:
LA SUMA VECTORIAL DE TODAS LAS FUERZAS QUE ACTUAN SOBRE EL CUERPO DEBE SER CERO:
DONDE SE HA TOMADO AL PLANO XY COMO EL
PLANO DE LAS FUERZAS COPLANARES.
2.- LA SEGUNDA O CONDICION DE LA TORCA:
TOMANDO UN EJE PERPENDICULAR AL PLANO DE
LAS FUERZAS COPLANARES. TODAS LAS TORCAS QUE TIENDEN A PRODUCIR UNA
ROTACION EN EL SENTIDO DEL RELOJ SE CONSIDERAN NEGATIVAS, Y LAS QUE PRODUCEN
UNA ROTACION CONTRA EL SENTIDO DEL
RELOJ, COMO POSITIVAS < LA SUMA DE TODAS LAS TORCAS QUE ACTUAN SOBRE EL OBJETO DEBE SER CERO:
∑
Γ = 0
EL CENTRO DE GRAVEDAD:
de un objeto es el punto en el cual se puede considerar que está concentrado
todo su peso, esto es, la línea de acción del peso pasa por el centro de
gravedad. Una sola fuerza vertical y dirigida hacia arriba, igual en magnitud
al peso del objeto y aplicada en el centro de gravedad, mantendrá al cuerpo en
equilibrio.
LA
POSICION DE LOS EJES ES ARBITRARIA: si la suma de las
torcas que actúan sobre un cuerpo es cero para un determinado eje y se cumple
la condición de las fuerzas, esta será cero para todo eje paralelo al primero.
Generalmente se escoge el eje de tal forma que la línea de acción de la fuerza desconocida
pase por la intersección del eje de rotación y el plano de las fuerzas.
Entonces el ángulo entre teta y F es cero, de tal manera que la fuerza
desconocida ejerce una torca cero y por lo tanto no aparece en la ecuación de
la torca.
Problemas de
aplicación:
1.- Calcule la torca alrededor del eje A
en la figura, debida a cada una de las fuerzas mostradas.
Al utilizar la
ecuación Γ = r
F sen α, recuerde que
una torca en el sentido del reloj es negativa y las torcas contrarreloj son
positivas. La torca de cada una de las tres fuerzas es
Para 10 N: Γ = (0.80
m) (10 N) (sen 90°) = 8.0 N · m
Para 25 N: Γ = (0.80
m) (25 N) (sen 25°) = 8.5 N · m
Para 20 N: Γ = (0.80 m) (20 N) (sen 0°) = 0
N. m
La línea de
acción de la fuerza de 20 N pasa por el eje y por tanto α
= 0°. Expresándolo de otra forma, si la
línea de acción de la fuerza pasa por el eje, entonces su brazo de palanca es
cero. De cualquier forma, la torca es cero para esta (y cualquier otra) fuerza
cuya línea de acción pase por el eje.
2.- una viga
uniforme pesa 200N y sostiene un objeto de 450N como se muestra en la figura.
Calcular la magnitud de las fuerzas que ejercen sobre la viga las columnas de
apoyo colocadas en los extremos. Suponga que las longitudes son exactas.
En lugar de dibujar por separado los
diagramas de cuerpo libre, se muestran en la figura las fuerzas que actúan
sobre la viga. Como la viga es uniforme, su centro de gravedad se localiza en
su centro geométrico. Por esta razón se muestra el peso de la viga (200 N)
actuando sobre su centro. Las fuerzas F1 y F2 son las reacciones de las
columnas de apoyo sobre la viga. Como no existen fuerzas en la dirección x que
actúen sobre la viga, solamente hay que escribir dos ecuaciones para esta
condición de equilibrio:
Σ
Fy 0 y Στ 0.
+
↑ Σ Fy = 0 se convierte en F1 + F2 + 200 N + 450 N = 0
Antes de escribir la
ecuación de la torca, se debe escoger un eje. Se escoge en el punto A, de tal
forma que la fuerza desconocida F1 pase por éste y no ejerza torca alguna.
Entonces la ecuación de la torca es:
Al
dividir la ecuación entre L y resolver para F2, se encuentra que F2
= 438 N.
Para
calcular el valor de F1, se sustituye el valor de F2 en
la ecuación de las fuerzas y se obtiene que: F1 =212 N.
3.-
Un tubo uniforme de 100N se utiliza como palanca, como se indica en la figura.
¿Dónde se debe colocar el fulcro (punto de apoyo), si un peso de 500N colocado
en un extremo se debe balancear con uno
de 200N colocado en el otro extremo? ¿Qué carga debe soportar el apoyo?
En
la figura se muestran las fuerzas, donde FR es la fuerza de reacción que ejerce el
apoyo sobre el tubo. Suponga que el punto de apoyo se encuentra a una distancia
x de uno de los extremos. Considere que el eje se encuentra en el punto
de apoyo. Entonces la ecuación de la torca, 
, se escribe como:
, se escribe como: 
Al
simplificar:
(800N)
(x) = (550N) (L)
de donde x =
0.69L. El punto de apoyo se debe colocar a 0.69 del extremo donde se
encuentra la carga más ligera.
La carga FR
que soporta el apoyo se encuentra con la ecuación +↑ Σ Fy = 0 y se obtiene:
-
200
N - 100 N - 500 N + FR =
0 ; de donde FR = 800 N.
