Conceptos Generales de Física: EQUILIBRIO DE UN CUERPO RÍGIDO BAJO LA ACCIÓN DE FUERZAS COPLANARES.

EQUILIBRIO DE UN CUERPO RÍGIDO BAJO LA ACCIÓN DE FUERZAS COPLANARES.

LA TORCA (O MOMENTUM) alrededor de un eje, debida a una fuerza, es una medida de la efectividad de la fuerza para que esta produzca una rotación alrededor de un eje. La torca se define de la siguiente manera:

TORCA= r

senα

Γ = r

Donde r es la distancia radial desde el punto de aplicación de la fuerza y α es el ángulo agudo entre las direcciones de r y F, como se indica en las figura.

Con frecuencia esta definición se escribe en términos de brazo de palanca de la fuerza, que es la distancia perpendicular desde el eje a la línea de acción de la fuerza. Como el brazo de palanca es igual a r senα, la ecuación de la torca se escribe como:

Γ = F x brazo de palanca

Las unidades de la torca son Newton metro. La torca puede ser positiva o negativa: es positiva cuando la rotación alrededor del eje es en sentido opuesto al movimiento de las manecillas del reloj y negativa cuando la rotación es en el mismo sentido en que se mueven las manecillas del reloj.

Las dos condiciones para el equilibrio de un cuerpo rígido bajo la acción de fuerzas coplanares son:

1.- LA PRIMERA CONDICION DE LA FUERZA: LA SUMA VECTORIAL DE TODAS LAS FUERZAS QUE ACTUAN SOBRE EL CUERPO DEBE SER CERO:

DONDE SE HA TOMADO AL PLANO XY COMO EL PLANO DE LAS FUERZAS COPLANARES.

2.- LA SEGUNDA O CONDICION DE LA TORCA: TOMANDO UN EJE PERPENDICULAR AL PLANO DE LAS FUERZAS COPLANARES. TODAS LAS TORCAS QUE TIENDEN A PRODUCIR UNA ROTACION EN EL SENTIDO DEL RELOJ SE CONSIDERAN NEGATIVAS, Y LAS QUE PRODUCEN UNA ROTACION CONTRA EL SENTIDO DEL RELOJ, COMO POSITIVAS < LA SUMA DE TODAS LAS TORCAS QUE ACTUAN SOBRE EL OBJETO DEBE SER CERO:

∑ Γ = 0

EL CENTRO DE GRAVEDAD: de un objeto es el punto en el cual se puede considerar que está concentrado todo su peso, esto es, la línea de acción del peso pasa por el centro de gravedad. Una sola fuerza vertical y dirigida hacia arriba, igual en magnitud al peso del objeto y aplicada en el centro de gravedad, mantendrá al cuerpo en equilibrio.

LA POSICION DE LOS EJES ES ARBITRARIA: si la suma de las torcas que actúan sobre un cuerpo es cero para un determinado eje y se cumple la condición de las fuerzas, esta será cero para todo eje paralelo al primero. Generalmente se escoge el eje de tal forma que la línea de acción de la fuerza desconocida pase por la intersección del eje de rotación y el plano de las fuerzas. Entonces el ángulo entre teta y F es cero, de tal manera que la fuerza desconocida ejerce una torca cero y por lo tanto no aparece en la ecuación de la torca.

Problemas de aplicación:

1.- Calcule la torca alrededor del eje A en la figura, debida a cada una de las fuerzas mostradas.

Al utilizar la ecuación Γ = r F sen α, recuerde que una torca en el sentido del reloj es negativa y las torcas contrarreloj son positivas. La torca de cada una de las tres fuerzas es

Para 10 N: Γ = (0.80 m) (10 N) (sen 90°) = 8.0 N · m

Para 25 N: Γ = (0.80 m) (25 N) (sen 25°) = 8.5 N · m

Para 20 N: Γ = (0.80 m) (20 N) (sen 0°) = 0 N. m

La línea de acción de la fuerza de 20 N pasa por el eje y por tanto α = 0°. Expresándolo de otra forma, si la línea de acción de la fuerza pasa por el eje, entonces su brazo de palanca es cero. De cualquier forma, la torca es cero para esta (y cualquier otra) fuerza cuya línea de acción pase por el eje.

2.- una viga uniforme pesa 200N y sostiene un objeto de 450N como se muestra en la figura. Calcular la magnitud de las fuerzas que ejercen sobre la viga las columnas de apoyo colocadas en los extremos. Suponga que las longitudes son exactas.

En lugar de dibujar por separado los diagramas de cuerpo libre, se muestran en la figura las fuerzas que actúan sobre la viga. Como la viga es uniforme, su centro de gravedad se localiza en su centro geométrico. Por esta razón se muestra el peso de la viga (200 N) actuando sobre su centro. Las fuerzas F1 y F2 son las reacciones de las columnas de apoyo sobre la viga. Como no existen fuerzas en la dirección x que actúen sobre la viga, solamente hay que escribir dos ecuaciones para esta condición de equilibrio:

Σ Fy 0 y Στ 0.

+ ↑ Σ Fy = 0 se convierte en F₁ + F₂ + 200 N + 450 N = 0

Antes de escribir la ecuación de la torca, se debe escoger un eje. Se escoge en el punto A, de tal forma que la fuerza desconocida F1 pase por éste y no ejerza torca alguna. Entonces la ecuación de la torca es:

Al dividir la ecuación entre L y resolver para F₂, se encuentra que F₂ = 438 N.

Para calcular el valor de F₁, se sustituye el valor de F₂ en la ecuación de las fuerzas y se obtiene que: F₁=212 N.

3.- Un tubo uniforme de 100N se utiliza como palanca, como se indica en la figura. ¿Dónde se debe colocar el fulcro (punto de apoyo), si un peso de 500N colocado en un extremo se debe balancear con uno de 200N colocado en el otro extremo? ¿Qué carga debe soportar el apoyo?

En la figura se muestran las fuerzas, donde F_R es la fuerza de reacción que ejerce el apoyo sobre el tubo. Suponga que el punto de apoyo se encuentra a una distancia x de uno de los extremos. Considere que el eje se encuentra en el punto de apoyo. Entonces la ecuación de la torca,